快速模式匹配算法【KMP算法详细介绍】

1. 模式匹配

模式匹配的模型大概是这样的：给定两个字符串变量S和P，其中S成为目标串，其中包含n个字符，P称为模式串，包含m个字符，其中m<=n。从S的给定位置(通常是S的第一个位置)开始搜索模式P。如果找到，则返回模式P在目标串中的位置(即：P的第一个字符在S中的下标)。如果在目标串S中没有找到模式串P，则返回-1.这就是模式匹配的定义啦，下面来看看怎么实现模式匹配算法吧。

2. 朴素的模式匹配

朴素的模式匹配算法非常简单，容易理解，大概思路是这样的：从S的第一个字符S0开始，将P中的字符依次和S中字符比较，若S0=P0 && …… && Sm-1 = Pm-1，则证明匹配成功，剩下的匹配无需进行了，返回下标0。若在某一步Si != Pi 则P中剩下的字符也不用比较了，不可能匹配成功了，然后从S中第二个字符开始与P中第一个字符进行比较，同理，也是知道Sm = Pm-1或者找到某个i使得Si != S-1为止。依次类推若知道以S中第n-m个开始字符为止，还没有匹配成功则证明S中不存模式P。(想想为什么这里强调是n-m)这个代码实现应该是非常简单的，具体开始参考strstr函数的内部实现。可以看看百度百科，给个链接http://baike.baidu.com/view/745156.htm，这里不写出来了，还得赶紧进入正题KMP呢。

3. 快速模式匹配算法(KMP)

朴素的模式匹配效率不高的主要原因是进行了重复的字符比较。下一次比较和上一次比较没有任何的联系，是朴素模式匹配的缺点，其实上一次比较的比较结果是可以利用的，这就产生了快速模式匹配。在朴素的模式匹配中，目标串S的下标移动是一步一步的，这其实并不好，移动步数没有必要为1。

现在不妨假设，当前匹配情况是这样的：S0 …… St St+1 …… St+j 与 P0 P1…… Pj ，现在正在尝试匹配的字符是St+j+1和Pj+1，并且St+j+1 != Pj+1，言外之意就是说St St+1……St+j和P0 P1……Pj是完全匹配的。那么这个时候，S中下一次匹配开始位置应该是什么呢??按照朴素的模式匹配，下次比较应该从St+1开始，并且令St+1和P0比较，但是在快速模式匹配中并不是这样，快速模式匹配选择St+j+1和Pk+1比较，K是什么呢?K是这样的一个值，使得P0 P1……Pk 和 Pj-k Pj-k+1……Pj完全匹配，不妨设k=next[j]，因此P0 P1……Pk和St+j-k St+j-k+1 ……St+j完全匹配。那么下一次要进行匹配的两个字符应为St+j+1和Pk+1。S和P都没有回溯到下标0在进行比较，这就是KMP之所以快的原因啦。

现在关键问题来了，这个K怎么能得到呢?如果得到这个K值复杂度高，那这个思路就不好了，其实这个K呢，只和模式串P有关系，并且要求m个k，k = next[j]，因此只要算一次存储到next数组中就可以了，并且时间复杂度和m有关系(线性关系)。看看具体怎么求next数组的值，即求k。

用归纳法求next[]：设next(0) = -1，若已知next(j) = k，欲求得next[j+1]。

(1)如果Pk+1 = Pj+1，显然next[j+1] = k+1.如果Pk+1 != Pj+1，则next[j+1] < next[j]，于是寻找h < k 使得P0 P1……Ph = Pj-h Pj-h+1……Pj = Pk-h Pk-h+1……Pk。也就是说h = next(k);看出来了吧，这是个迭代的过程。(也就是以前的结果对求以后的值有用)

(2)如果不存这样的h，说明P0 P1……Pj+1中没有前后相等的子串，因此next[j+1] =-1.

(3)如果存在这样的h，继续检验Ph和Pj是否相等。知道找到这中相等的情况，或者确定为-1求next[j+1]的过程结束。

KMP算法它的实现过程接近人为进行模式匹配的过程。例如，对主串 A("ABCABCE")和模式串 B("ABCE")进行模式匹配，如果人为去判断，仅需匹配两次。

图 1 第一次人为模式匹配

第一次如图 1 所示，最终匹配失败。但在本次匹配过程中，我们可以获得一些信息，模式串中 "ABC" 都和主串对应的字符相同，但模式串中字符 'A' 与 'B' 和 'C' 不同。

因此进行下次模式匹配时，没有必要让串 B 中的 'A' 与主串中的字符 'B' 和 'C' 一一匹配(它们绝不可能相同)，而是直接去匹配失败位置处的字符 'A' ，如图 2 所示：

图 2 第二次人为模式匹配

至此，匹配成功。若使用 BF 算法，则此模式匹配过程需要进行 4 次。

由此可以看出，每次匹配失败后模式串移动的距离不一定是 1，某些情况下一次可移动多个位置，这就是 KMP 模式匹配算法。

那么，如何判断匹配失败后模式串向后移动的距离呢?

模式串移动距离的判断

每次模式匹配失败后，计算模式串向后移动的距离是 KMP 算法中的核心部分。

其实，匹配失败后模式串移动的距离和主串没有关系，只与模式串本身有关系。

例如，我们将前面的模式串 B 改为 "ABCAE"，则在第一次模式匹配失败，由于匹配失败位置模式串中字符 'E' 前面有两个字符 'A'，因此，第二次模式匹配应改为如图 3 所示的位置：

图 3 模式匹配过程示意图

结合图 1、图 2 和图 3 不难看出，模式串移动的距离只和自身有关系，和主串无关。换句话说，不论主串如何变换，只要给定模式串，则匹配失败后移动的距离就已经确定了。

不仅如此，模式串中任何一个字符都可能导致匹配失败，因此串中每个字符都应该对应一个数字，用来表示匹配失败后模式串移动的距离。

注意，这里要转换一下思想，模式串向后移动等价于指针 j 前移，如图 4 中的 a) 和 b)。换句话说，模式串后移相当于对指针 j 重定位。

图 4 模式串后移等价于 j 前移

因此，我们可以给每个模式串配备一个数组(例如 next[])，用于存储模式串中每个字符对应指针 j 重定向的位置(也就是存储模式串的数组下标)，比如 j=3，则该字符匹配失败后指针 j 指向模式串中第 3 个字符。

模式串中各字符对应 next 值的计算方式是，取该字符前面的字符串(不包含自己)，其前缀字符串和后缀字符串相同字符的最大个数再 +1 就是该字符对应的 next 值。

前缀字符串指的是位于模式串起始位置的字符串，例如模式串 "ABCD"，则 "A"、"AB"、"ABC" 以及 "ABCD" 都属于前缀字符串;后缀字符串指的是位于串结尾处的字符串，还拿模式串 "ABCD" 来说，"D"、"CD"、"BCD" 和 "ABCD" 为后缀字符串。

注意，模式串中第一个字符对应的值为 0，第二个字符对应 1 ，这是固定不变的。因此，图 3 的模式串 "ABCAE" 中，各字符对应的 next 值如图 5 所示：

图 5 模式串对应的 next 数组

从图 5 中的数据可以看出，当字符 'E' 匹配失败时，指针 j 指向模式串数组中第 2 个字符，即 'B'，同之前讲解的图 3 不谋而合。

以上所讲 next 数组的实现方式是为了让大家对此数组的功能有一个初步的认识。接下来学习如何用编程的思想实现 next 数组。编程实现 next 数组要解决的主要问题依然是 "如何计算每个字符前面前缀字符串和后缀字符串相同的个数"。

仔细观察图 5，为什么字符 'C' 对应的 next 值为 1?因为字符串 "AB" 前缀字符串和后缀字符串相等个数为 0，0 + 1 = 1。那么，为什么字符 'E' 的 next 值为 2?因为紧挨着该字符之前的 'A' 与模式串开头字符 'A' 相等，1 + 1 = 2。

如果图 5 中模式串为 "ABCABE"，则对应 next 数组应为 [0,1,1,1,2,3]，为什么字符 'E' 的 next 值是 3 ?因为紧挨着该字符前面的 "AB" 与开头的 "AB" 相等，2 + 1 =3。

因此，我们可以设计这样一个算法，刚开始时令 j 指向模式串中第 1 个字符，i 指向第 2 个字符。接下来，对每个字符做如下操作：

如果 i 和 j 指向的字符相等，则 i 后面第一个字符的 next 值为 j+1，同时 i 和 j 做自加 1 操作，为求下一个字符的 next 值做准备，如图 6 所示：

图 6  i 和 j 指向字符相等

上图中可以看到，字符 'a' 的 next 值为 j +1 = 2，同时 i 和 j 都做了加 1 操作。当计算字符 'C' 的 next 值时，还是判断 i 和 j 指向的字符是否相等，显然相等，因此令该字符串的 next 值为 j + 1 = 3，同时 i 和 j 自加 1(此次 next 值的计算使用了上一次 j 的值)。如图 7 所示：

图 7  i 和 j 指向字符仍相等

如上图所示，计算字符 'd' 的 next 时，i 和 j 指向的字符不相等，这表明最长的前缀字符串 "aaa" 和后缀字符串 "aac" 不相等，接下来要判断次长的前缀字符串 "aa" 和后缀字符串 "ac" 是否相等，这一步的实现可以用 j = next[j] 来实现，如图 8 所示：

图 8  执行 j=next[j] 操作

从上图可以看到，i 和 j 指向的字符又不相同，因此继续做 j = next[j] 的操作，如图 9 所示：

图 9 继续执行 j=next[j] 的操作

可以看到，j = 0 表明字符 'd' 前的前缀字符串和后缀字符串相同个数为 0，因此如果字符 'd' 导致了模式匹配失败，则模式串移动的距离只能是 1。

这里给出使用上述思想实现 next 数组的 C 语言代码：

void Next(char*T,int *next){
    next[1]=0;
    next[2]=1;
    int i=2;
    int j=1;
    while (i<strlen(T)) {
        if (j==0||T[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
            next[i]=j;
        }else{
            j=next[j];
        }
    }
}

代码中 j=next[j] 的运用可以这样理解，每个字符对应的next值都可以表示该字符前 "同后缀字符串相同的前缀字符串最后一个字符所在的位置"，因此在每次匹配失败后，都可以轻松找到次长前缀字符串的最后一个字符与该字符进行比较。

Next函数的缺陷

图 10  Next 函数的缺陷

例如，在图 10a) 中，当匹配失败时，Next 函数会由图 10b) 开始继续进行模式匹配，但是从图中可以看到，这样做是没有必要的，纯属浪费时间。

出现这种多余的操作，问题在当 T[i-1]==T[j-1] 成立时，没有继续对 i++ 和 j++ 后的 T[i-1] 和 T[j-1] 的值做判断。改进后的 Next 函数如下所示：

void Next(char*T,int *next){ 
    next[1]=0;
    next[2]=1;
    int i=2;
    int j=1;
    while (i<strlen(T)) {
        if (j==0||T[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
            if (T[i-1]!=T[j-1]) {
               next[i]=j;
            }
            else{
                next[i]=next[j];
            }
        }else{
            j=next[j];
        }
    }
}

使用精简过后的 next 数组在解决例如模式串为 "aaaaaaab" 这类的问题上，会大大提高效率，如图 11 所示，精简前为 next1，精简后为 next2：

图 11  改进后的 Next 函数

KMP 算法的实现

假设主串 A 为 "ababcabcacbab"，模式串 B 为 "abcac"，则 KMP 算法执行过程为：

第一次匹配如图 12 所示，匹配结果失败，指针 j 移动至 next[j] 的位置;

图 12   第一次匹配示意图

第二次匹配如图 13 所示，匹配结果失败，依旧执行 j=next[j] 操作：

图 13  第二次匹配示意图

第三次匹配成功，如图 14 所示：

图 14  第三次匹配示意图

很明显，使用 KMP 算法只需匹配 3 次，而同样的问题使用 BF 算法则需匹配 6 次才能完成。

KMP 算法的完整 C 语言实现代码为：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
void Next(char*T,int *next){
    int i=1;
    next[1]=0;
    int j=0;
    while (i<strlen(T)) {
        if (j==0||T[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
            next[i]=j;
        }else{
            j=next[j];
        }
    }
}
int KMP(char * S,char * T){
    int next[10];
    Next(T,next);//根据模式串T,初始化next数组
    int i=1;
    int j=1;
    while (i<=strlen(S)&&j<=strlen(T)) {
        //j==0:代表模式串的第一个字符就和当前测试的字符不相等；S[i-1]==T[j-1],如果对应位置字符相等，两种情况下，指向当前测试的两个指针下标i和j都向后移
        if (j==0 || S[i-1]==T[j-1]) {
            i++;
            j++;
        }
        else{
            j=next[j];//如果测试的两个字符不相等，i不动，j变为当前测试字符串的next值
        }
    }
    if (j>strlen(T)) {//如果条件为真，说明匹配成功
        return i-(int)strlen(T);
    }
    return -1;
}
int main() {
    int i=KMP("ababcabcacbab","abcac");
    printf("%d",i);
    return 0;
}

运行结果为：

6